Coordenadas cartesianas

Los datos circulares pueden ser representados como ángulos o como puntos en la circunferencia de un círculo unitario. La posición direccional puede determinarse de manera única mediante dos coordenadas. Para este propósito, podemos utilizar el sistema de coordenadas rectangulares con origen \( O \).

Cualquier punto \( P \) en el plano puede ser representado como \( (X, Y) \) en términos de sus coordenadas rectangulares o como \( (r, \alpha) \) en términos de sus coordenadas polares, donde \( r \) es la distancia al origen y \( \alpha \) su dirección.

Para convertir las coordenadas polares en coordenadas rectangulares y viceversa, se utilizan las funciones trigonométricas seno y coseno.

Tomando un punto \( P \) con coordenadas polares \( (r, \theta) \), las coordenadas rectangulares del punto \( P \) se calculan como:

\( x = r \cdot \sin(\theta), \quad y = r \cdot \cos(\theta) \)

En el análisis direccional interesa la dirección y no la magnitud del vector, por lo que tomamos los vectores como de longitud unitaria (es decir, r = 1) por conveniencia. Cada dirección corresponde así a un punto P en la circunferencia del círculo unitario. Alternativamente, este punto en la circunferencia de un círculo unitario se puede especificar simplemente mediante el ángulo.

Media Circular

La media y la desviación estándar, sufren de una fuerte dependencia de la elección de la dirección cero y del sentido de rotación. El siguiente ejemplo ilustra por qué son inapropiados como medidas descriptivas del centro para datos circulares.

A partir de este ejemplo, queda claro que la media aritmética, que es comúnmente utilizada para datos lineales, no es tanto una medida central para un conjunto dado de direcciones observadas, sino que es una función de la elección de la dirección cero y del sentido de rotación. Por lo tanto, debe evitarse como medida central para direcciones. La desviación estándar, que depende de la media, también sufre del mismo problema y, por lo tanto, se necesitan medidas de tendencia central y dispersión alternas al tratar con datos circulares.

Para calcular el promedio o la media de un conjunto de datos circulares \( \theta_1, \theta_2, \dots, \theta_n \), se necesitan las coordenadas \( x \) y \( y \) para cada ángulo. Por lo tanto, para el ángulo \( \theta_1 \) las coordenadas serían: \( x_1 = \sin(\theta_1) \),    \( y_1 = \cos(\theta_1) \).

La fórmula para calcular la media de un conjunto de datos circulares es: \[ \bar{\theta} = \text{atan2}(\bar{y}, \bar{x}) \] donde: \[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \sin(\theta_j), \quad \bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \cos(\theta_j) \]

La función \(\text{atan2}{(x)}\) devuelve el ángulo (en radianes) entre el eje Y positivo y el vector que va desde el origen (0,0) hasta el punto promedio de coordenadas \( (\bar{x}, \bar{y}) \). Es decir, te da la dirección promedio del conjunto de vectores. Esta función es útil porque maneja correctamente los casos en los que \( y \) es cero o negativo.

En Excel, usamos la fórmula:
=MOD(DEGREES(ATAN2(AVERAGE(V3:V24), AVERAGE(U3:U24))) + 360, 360)
se utiliza DEGREES para convertir el ángulo a grados, porque \(\text{atan2}{(x)}\) devuelve el ángulo en radianes. Además, el uso de \(MOD(... + 360, 360)\) garantiza que el resultado esté en el rango [0, 360). Si el ángulo fuera negativo, esta parte lo convierte en un valor positivo equivalente.

Desviación circular

En el caso de la desviación estándar para datos circulares, se utiliza la siguiente fórmula:

\[ \bar{\sigma} = \sqrt{-2 \ln\left(\sqrt{\bar{x}^2 + \bar{y}^2}\right)} \]

En Excel, usamos la fórmula:

=DEGREES(SQRT(-2*LN(SQRT(AVERAGE(V3:V24)^2 + AVERAGE(U3:U24)^2))))

En esta fórmula:

• AVERAGE(V3:V24) representa los valores de \( \bar{y} \)
• AVERAGE(U3:U24) representa los valores de \( \bar{x} \)
• LN calcula el logaritmo natural
• DEGREES convierte el resultado de radianes a grados

Datos atípicos

Para identificar los datos atípicos en datos circulares, primero se necesita calcular la distancia angular entre el ángulo específico y el ángulo promedio.

En Excel, esta distancia se calcula con la fórmula:

=MOD(ángulo específico – ángulo promedio + 180, 360) – 180

El uso de MOD(..., 360) asegura que los ángulos se mantengan dentro del rango estándar de 0° a 360°. La suma y resta de 180° se realiza para que el resultado final esté en el rango \([-180^\circ, 180^\circ)\), lo que representa la distancia mínima entre dos direcciones circulares.

Un ángulo se considera atípico si su distancia angular es mayor que dos veces la desviación angular estándar:

\[ \text{distancia angular} > 2 \cdot \bar{\sigma} \]

En Excel, esto se implementa con la fórmula:

=IF(ABS(C70) > 2 * C$64, "Atípico", "")

Donde:

• C70 es la celda que contiene la distancia angular.
• C64 es la celda que contiene la desviación angular estándar \( \bar{\sigma} \).